INTRODUCCIÓN
Los sistemas de control se fundamentan básicamente en el análisis de las plantas y su debido compensación para lograr un resultado deseado de operación. |
Además, se presenta el resultado grafico realizado en Matlab para visualizar los efectos relevantes en este caso.
El método de diseño lo determinan las especificaciones. El diseñador trata de satisfacer todos los requerimientos, Ajustando la ganancia es el primer paso, sin embargo en muchos casos prácticos, no basta ajustar la ganancia del sistema para cumplir con las especificaciones dadas. Con frecuencia, aumentar la ganancia mejora el funcionamiento estacionario, pero redunda en una estabilidad pobre. En tal caso es necesario rediseñar el sistema para alterar el funcionamiento global, de manera que el sistema se comporte en la forma deseada. Este rediseño se denomina compensación y al dispositivo que se inserta se le denomina compensador.
Se han utilizado numerosos dispositivos físicos como compensadores. Entre las muchas clases de compensadores, ampliamente utilizados, están los de adelanto, de atraso, de atraso-adelanto y compensadores con retroalimentación de velocidad.
Los compensadores pueden ser dispositivos electrónicos, o redes eléctricas, mecánicas, neumáticas, hidráulicas o alguna combinación de ellas.
Al compensar los sistemas de control, observamos que, por lo general, el problema termina en un diseño conveniente de un compensador en serie o mediante realimentación. La elección entre la compensación en serie y la compensación mediante realimentación depende de la naturaleza de las señales del sistema, los niveles de potencia en los diferentes puntos, los componentes disponibles, la experiencia del diseñador, las consideraciones económicas, etc.
En general, la compensación en serie es mas sencilla que la compensación mediante realimentación; sin embargo aquella requiere con frecuencia de amplificadores adicionales para incrementar la ganancia y/o ofrecer un aislamiento.
Los métodos de diseño de controladores en el espacio de estados siguen un procedimiento de dos pasos independientes. El primer paso supone que el estado completo está disponible para ser realimentado y usado en el control. Esto en general es falso. Por eso se debe recurrir al segundo paso, que consiste en el diseño de un estimador u observador del estado, que calcula el estado completo a partir de las mediciones disponibles. El algoritmo final de control consistirá entonces en la ley de control obtenida en el primer paso, usando la estimación del estado que provee el observador obtenido en el segundo paso.
La ley de control, para el problema de regulación (es el caso en que se desea llevar el estado al
origen: x = 0), consiste en realimentar una combinación lineal del estado. Es decir
Donde K es una matriz de ganancias a determinar
Es decir que la dinámica del sistema a lazo cerrado puede definirse arbitrariamente, mediante la elección apropiada de los elementos de la matriz K. Apropiada, en este caso, quiere decir que las raíces de la ecuación característica se ubiquen en la posición deseada.
En particular, es posible que un sistema inestable a lazo abierto, se estabilice al cerrar el lazo, eligiendo K de modo que las raíces de la ecuación característica caigan en el interior del círculo unitario.
k = Acker (A, B, P)
Dado el sistema de una sola entrada y un vector p da las posiciones de los polos de lazo cerrado,
Acker (A, B, P) utiliza la fórmula de Ackermann para calcular y obtener el vector k tal que la realimentación de estado u =-kx lugares los polos de lazo cerrado en los lugares p. En otras palabras, los valores propios de A - BK coinciden con las entradas de p. Aquí A es el transmisor de estado de la matriz y b es la entrada al vector de estado de transmisión.
Limitaciones
Acker se limita a sistemas de una sola entrada y el par (A, b) debe ser controlable
El actuador que vamos a analizar será la electroválvula utilizada en el proyecto final.
Fig. # 1 Electroválvula
A continuación veremos las respuestas de la electroválvula en función del tiempo.
Fig. # 2 Determinación del tiempo de establecimiento
En la figura # 2 se muestra el tiempo de establecimiento de la electroválvula.
ts= 9.1 ms
Fig. # 3 Determinación del Mp
En la figura # 3 se muestra el valor de la magnitud del pico correspondiente a la electroválvula.
Para determinar el valor de la magnitud del pico de la electroválvula, debemos realizar una regla de tres, pues este valor se debe representar en un porcentaje.
Fig. # 4 Determinación del tiempo pico
En la figura # 4 se muestra el tiempo de pico de la electroválvula.
tp= 2 ms
Ahora desarrollamos un programa en Matlab que nos permita conocer la respuesta del sistema en función del tiempo, sin tener en cuenta el parámetro K
Al momento de correr el programa en el software Matlab, este no proporciona la siguiente información.
Fig. # 5 Respuesta de la electroválvula en función del tiempo sin el parámetro K
En la figura # 5, se aprecia la respuesta de la electroválvula, con la cual podemos decir que este, es un sistema de segundo orden sobre amortiguado.
Esto se realiza con el fin de poder comparar las respuestas de la electroválvula con y sin el parámetro K.
Ahora se plantea un programa en el software de Matlab, el cual realizara el procedimiento pertinente para hallar el parámetro K que conforma el controlador del sistema
A continuación se muestra el código necesario para hallar dicha constante que conforma el controlador del sistema:
Al momento de correr el programa, este nos proporciona lo siguiente:
Fig. # 6 Respuesta de la electroválvula en función del tiempo con el parámetro K
En la figura # 6, se aprecia la respuesta de la electroválvula, con el controlador del sistema, por lo que se puede ver que esta, es una respuesta lenta en el tiempo en comparación con la respuesta de la figura # 5.
Ahora vamos a realizar una comparación de las funciones de transferencia obtenidas con y sin el parámetro K.
Se puede apreciar claramente que la función de transferencia obtenida sin el parámetro K, tiene un denominador mucho más grande, el cual hace que tenga una respuesta mucho más rápida, pero con un sobre pico más elevado que podría llegar a causar problemas, mientras que la función de transferencia obtenida a partir de K, tiene un denominador pequeño, el cual hará que el sistema se responda lentamente, pero a la vez sabremos que será no tendrá sobre picos elevados los cuales puedan ocasionarle problemas al sistema.
En realidad la variación en los valores de las ganancias no es tan crítica, como sí lo pareció en las simulaciones. Sin embargo, estas variaciones produjeron cambios que pueden ser importantes a la hora de implementar un controlador de estado para regular una posición; ellas se deben a muchos factores tales como: la dificultad de incluir en el modelo simulado todas las variables que influyen en el comportamiento real del sistema; así mismo, el modelo empleado está linealizado, es decir, construido para un único punto de funcionamiento, mientras que en la realidad se prueba con variaciones, es decir, acercamientos y alejamientos del punto de equilibrio que pueden representar condiciones completamente diferentes.
También se observó que la ganancia influye en gran medida en el tiempo de respuesta del sistema. Ganancias grandes producen formas de respuesta similares a las que se presentan en un sistema de primer orden. A medida que se disminuye la ganancia, se disminuye el tiempo de respuesta, hasta un mínimo en el cual comienzan a presentarse oscilaciones en la respuesta, las cuales pueden desestabilizar el sistema especialmente cuando el sobrepico sobrepasa en 25% el valor de estado estacionario.
a. Realicemos la primera simulación teniendo en cuenta la función de transferencia con el valor de ganancia K
Fig # 7. Sisotool con Valor K
En la figura # 7, observamos la trayectoria de las raíces en la parte izquierda y el grafico de magnitud y fase de lazo abierto en la parte derecha, para esta simulación solo utilizaremos la trayectoria de las raíces
Por tanto solo omitimos la parte de las graficas de Bode
Fig # 8. Respuesta
En la figura # 8, vemos la Respuesta del sistema a una entrada escalon
Ahora damos clic en analysis – (Response to step command) y de inmediato podemos observar la siguiente grafica
Fig # 9. Respuesta final del sistema
En la figura # 9, podemos observar la grafica correspondiente al comportamiento del sistema teniendo en cuenta el valor de ganancia k.
Ahora de esta misma grafica podemos mostrar los valores mas significativos y representativos de la grafica como se muestra a continuación
Fig # 10. Puntos específicos
En la figura # 10, se muestra los puntos que tendremos en cuenta para caracterizar la grafica
Fig # 11. Parámetro Final
En la figura # 11, podemos observar el valor final del sistema, que es de 0.735
Fig # 12. Parámetro Ts
En la figura # 12, podemos observar que el tiempo de establecimiento (ts) tiene un valor de 9.14. Este valor es el mismo que se hallo anteriormente para el análisis matemático de la respuesta de nuestra electroválvula.
Fig # 13. Parámetro Mp
En la figura # 13, podemos observar el parámetro OVERSHOOT- Mp- que tiene un valor de 28.3, se encuentra muy cercano al valor hallado anteriormente en el modelado matematico de la electrovlavul
b. Realicemos la segunda simulación teniendo en cuenta la función de transferencia sin el valor de ganancia K
Fig # 14. Sisotool sin Valor K
En la figura # 14, observamos la trayectoria de las raíces en la parte izquierda y el grafico de magnitud y fase de lazo abierto en la parte derecha, para esta simulación solo utilizaremos la trayectoria de las raíces
Por tanto solo omitimos la parte de las graficas de Bode
Fig # 15. Respuesta
En la figura # 15, vemos la Respuesta del sistema a una entrada escalon
Fig # 16. Respuesta final del sistema
En la figura # 16, podemos observar la grafica correspondiente al comportamiento del sistema sin el valor de ganancia k.
Ahora de esta misma grafica podemos mostrar los valores mas significativos y representativos de la grafica como se muestra a continuación
Fig # 17. Puntos específicos
En la figura # 17, se muestra los puntos que tendremos en cuenta para caracterizar la grafica
Fig # 18. Parámetro Final
En la figura # 18, podemos observar el valor final del sistema, que es de 0.5
Fig # 19. Parámetro Ts
En la figura # 19, podemos observar que el tiempo de establecimiento (ts) tiene un valor de 0.00581.
Fig # 20. Parámetro Mp
Como podemos ver y concluir acerca de los puntos anteriores a y b, es que el parámetro de ganancia K es muy importante para el diseño de los compensadores, debido a que si tenemos el valor K será mas fácil y mas cercano los valores hallados matematicamente
Con la realización de este trabajo, se conocen las ventajas y desventajas de implementarle a un sistema cualquiera un controlador que nos permita tener una respuesta más estable y confiable en función del tiempo.
Tal y como veíamos anteriormente, si un sistema tiene una respuesta muy rápida, cabe la posibilidad de que esta sea brusca, con varios sobre picos y posiblemente pueden ocasionarle problemas al sistema en un determinado tiempo de funcionamiento, pero si el sistema está diseñado con un controlador, el cual nos permita tener una respuesta más lenta pero efectiva, lo cual nos permitirá brindarle un ciclo mayor de vida útil al sistema.
Las técnicas de compensación, son una buena herramienta para ajustar las ganancias de un sistema de control para poder cumplir con las especificaciones dadas.
Existen tres técnicas para calcular la compensación en un sistema de control, las cuales son, compensación en atraso, compensación en adelanto y compensación en adelanto – atraso. Existen dos maneras de calcular dichas técnicas son: el diseño de sistemas de control mediante el lugar geométrico de las raíces y el diseño de sistemas de control mediante la respuesta en frecuencia.
